Question

已知集合M_D是滿足下列性質(zhì)函數(shù)f(x)的全體：若函數(shù)f(x)的定義域為D，對任意的x₁,x₂∈D,(x₁≠x₂)有|f(x₁)-f(x₂)|＜|x₁-x₂|.

（1）當(dāng)D=(0,+∞)時，f(x)=lnx是否屬于M_D，若屬于M_D，給予證明，否則說明理由；

（2）當(dāng)D=(0,)，函數(shù)f(x)=x³+ax+b時，若 f(x)∈M.求實數(shù)a的取值范圍.?

Answer 1

分析：本題若用常規(guī)解法，解答較繁；若用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，則十分簡單.

解：（1）∵f′(x)=,∴若x∈（0,1）,f′(x)＞1|f′(x)|＞1,

∴||＞1.

當(dāng)x₁,x₂∈(0,1)時,f(x)=lnxM_D.

（2）由f(x)=x³+ax+bf′(x)=3x²+a,

當(dāng)x∈(0,)時，a＜f′(x)＜1+a.

∵f(x)∈M_D,

∴|f(x₁)-f(x₂)|＜|x₁-x₂|,即||＜1.

∴-1≤a≤0為所求.