Question

（1）已知函數(shù)f（x）=-x²+4（x∈（-1，2）），P、Q是f（x）圖象上的任意兩點．
①試求直線PQ的斜率k_PQ的取值范圍；
②求f（x）圖象上任一點切線的斜率k的范圍；
（2）由（1）你能得出什么結論？（只須寫出結論，不必證明），試運用這個結論解答下面的問題：已知集合M_D是滿足下列性質(zhì)函數(shù)f（x）的全體：若函數(shù)f（x）的定義域為D，對任意的x₁，x₂∈D，（x₁≠x₂）有|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|．
①當D=（0，1）時，f（x）=lnx是否屬于M_D，若屬于M_D，給予證明，否則說明理由；
②當D=(0，

3

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)，函數(shù)f（x）=x³+ax+b時，若f（x）∈M_D，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）①設P（x₁，f（x₁）），Q（x₂，f（x₂））由斜率公式用兩點坐標表示出，再根據(jù)定義域求范圍．
②求出導函數(shù)的值域，即為割線的斜率的取值范圍．
（2）得出結論，函數(shù)y=f（x）圖象上任意兩點P、Q連線的斜率k=

y1-y2

x1-x2

(x1≠x2)的取值范圍，
就是曲線上任一點切線的斜率（如果有的話）的范圍；對于①解出導函數(shù)，當x∈（0，1），導數(shù)大于1，由（1）的結論|

f(x1)-f(x2)

x1-x2

|＞1，這與|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|矛盾，f（x）=lnx∉M_D．對于②解出導函數(shù)由定義域知a＜f′（x）＜1+a．若f（x）∈M_D，則可根據(jù)定義得出關于a的不等式組，解之，有解既得實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）=1 ①設P（x₁，f（x₁）），Q（x₂，f（x₂））是f（x）圖象上的任意兩點（x₁≠x₂），則kPQ=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=

(-x22+4)-(-x12+4)

x2-x1

=-(x2+x1)，
由x₁，x₂∈（-1，2），知-（x₁+x₂）∈（-4，2），
∴直線PQ的斜率k_PQ的取值范圍是（-4，2）；
②由f′（x）=-2x，x∈（-1，2），得f′（x）∈（-4，2），
∴f（x）圖象上任一點切線的斜率k的范圍是（-4，2）；
（2）由（1）得：函數(shù)y=f（x）圖象上任意兩點P、Q連線的斜率k=

y1-y2

x1-x2

(x1≠x2)的取值范圍，
就是曲線上任一點切線的斜率（如果有的話）的范圍（其實由導數(shù)的定義可得）．
①∵f′(x)=

1

x

，∴若x∈（0，1），f′（x）＞1?|f′（x）|＞1，
∴|

f(x1)-f(x2)

x1-x2

|＞1，當x₁，x₂∈（0，1）時，f（x）=lnx∉M_D．
②由f（x）=x³+ax+b?f′（x）=3x²+a，當x∈(0，

3

3

)時，
a＜f′（x）＜1+a．∵f（x）∈M_D，
∴|f(x1)-f(x2)|＜|x1-x2|，即|

f(x1)-f(x2)

x1-x2

|＜1，
∴

a≥-1 1+a≤1

，得-1≤a≤0．
∴實數(shù)a的取值范圍是[-1，0]．

點評：考查函數(shù)圖象上兩點連線的斜率與函數(shù)在這一段上的導數(shù)的值域的關系，對于第（II）問，其中①判斷該函數(shù)是否符合定義，其②是根據(jù)函數(shù)符合定義轉化成不等式組求參數(shù)．請讀者認真體會這兩個題型的同同．