【題目】已知函數
討論函數
的單調性；
當
時，求函數在區間
上的零點個數.
【答案】(1)見解析；(2)見解析
【解析】
（1）先對函數
求導，分別討論
，
，即可得出結果；
（2）先由（1）得時，函數的最大值
，分別討論
，
，
，即可結合題中條件求出結果.
解：（1）
，
，
當時，
，
當時，
，
當
時，
；當
時，
當時，
在
上單調遞減；
當時，在
上單調遞增，在
上單調遞減.
（2）由（1）得，
當，即
時，函數在
內有無零點；
當
，即
時，函數在內有唯一零點
，
又
，所以函數在內有一個零點；
當
，即
時，由于
，
，
，
若
，即
時，
，由函數單調性知
使得
，
使得
,
故此時函數在內有兩個零點；
若
，即
時，
，
且
，，
由函數的單調性可知在
內有唯一的零點，在
內沒有零點，從而在內只有一個零點
綜上所述，當
時，函數在內有無零點；
當
時，函數在內有一個零點；
當
時，函數在內有兩個零點．
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
（
且
）.
（1）判斷函數
的奇偶性并說明理由；
（2）當
時，判斷函數在
上的單調性，并利用單調性的定義證明；
（3）是否存在實數
，使得當的定義域為
時，值域為
？若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知橢圓
的上頂點為
，右焦點為
，直線
與圓
相切．
（1）求橢圓
的方程；
（2）不過點的動直線
與橢圓相交于
兩點，且
．求證：直線過定點，并求出該定點的坐標．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】耐鹽堿水稻俗稱“海水稻”，是一種可以長在灘涂和鹽堿地的水稻。還水稻的灌溉是將海水稀釋后進行灌溉。某實驗基礎為了研究海水濃度
（
）對畝產量
（噸）的影響，通過在試驗田的種植實驗，測得了某種還水稻的畝產量與海水濃度的數據如下表：
海水濃度 |
|
|
|
|
|
畝產量 |
|
|
|
|
|
繪制散點圖發現，可用線性回歸模型擬合畝產量與海水濃度之間的相關關系，用最小二乘法計算得與
之間的線性回歸方程為
.
(1)求出
的值，并估算當澆灌海水濃度為8%時該品種的畝產量。
(2)①完成下列殘差表：
海水濃度 |
|
|
|
|
|
畝產量 |
|
|
|
|
|
| |||||
殘差 |
②統計學中常用相關指數
來刻畫回歸效果，越大，模型擬合效果越好，如假設
，就說明預報變量的差異有
是由解釋變量引起的.請計算相關指數（精確到0.01），并指出畝產量的變化多大程度上是由澆灌海水濃度引起的.
（附：殘差公式
，相關指數
，參考數據
）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，
是過定點
且傾斜角為
的直線；在極坐標系（以坐標原點
為極點，以
軸非負半軸為極軸，取相同單位長度）中，曲線
的極坐標方程為
.
（1）寫出直線的參數方程，并將曲線的方程化為直角坐標方程；
（2）若曲線與直線相交于不同的兩點
，求
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某少數民族的刺繡有著悠久的歷史，如圖4①，②，③，④為她們刺繡最簡單的四個圖案，這些圖案都是由小正方形構成，小正方形數越多刺繡越漂亮．現按同樣的規律刺繡(小正方形的擺放規律相同)，設第n個圖形包含f(n)個小正方形．
(1)求出f(5)的值；
(2)利用合情推理的“歸納推理思想”，歸納出f(n＋1)與f(n)之間的關系式，并根據你得到的關系式求出f(n)的表達式；
(3)求
的值．
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