Question

【題目】（1）是否存在實數，使得等式 對于一切正整數都成立？若存在，求出，，的值并給出證明；若不存在，請說明理由.

（2）求證：對任意的，.

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）見解析.

【解析】

（1）對n進行賦值，代入，求解方程組可求,證明使用數學歸納法；

（2）利用數學歸納法的步驟證明.

（1）在等式 中

令得①；令得②；

令得③；由①②③解得

對于都有 成立.

下面用數學歸納法證明：對一切正整數，式都成立.

①當時，由上所述知式成立；

②假設當時式成立，

即 ，

那么當時，

綜上：由①②得對一切正整數，式都成立，所以存在時題設的等

式對于一切正整數都成立.

（2）證明：

①當時，左式，右式，所以左式<右式，則時不等式成立；

②假設當時不等式成立，即，

那么當時，

下面證明當時，.

設 ，則所以在上單調增，所以即時，.

因為，所以則

因為

所以

由得

那么時不等式也成立.

綜上：由①②可得對任意 .