Question

【題目】已知是奇函數(shù)．

（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）求函數(shù)在上的值域；

（3）令，求不等式的解集．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析； （2）①當(dāng)時(shí)，值域?yàn)?/span>； ②當(dāng)時(shí)，值域?yàn)?/span>；

（3）.

【解析】

（1）由奇函數(shù)得，可解出；（2）先換元（），則，，再結(jié)合二次函數(shù)的圖像討論其值域；（3）先證到也為奇函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)證得 在上單調(diào)增，將等價(jià)轉(zhuǎn)化為，所以，解出答案即可.

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，因?yàn)?/span>為奇函數(shù)，由可知，，

所以，即；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為奇函數(shù)

所以．

（2）令（），所以

所以，對(duì)稱軸，

①當(dāng)時(shí)，，所求值域?yàn)?/span>；

②當(dāng)時(shí)，，所求值域?yàn)?/span>；

（3）因?yàn)?/span>為奇函數(shù)，所以

所以為奇函數(shù)，

所以等價(jià)于，

又當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，

所以在上單調(diào)增，

所以，

即，又，

所以或．所以不等式的解集是．