Question

【題目】一個(gè)袋中有若干個(gè)大小相同的黑球、白球和紅球．已知從袋中任意摸出1個(gè)球，得到黑球的概率是；從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球的概率是 ．
（Ⅰ）若袋中共有10個(gè)球，
（i）求白球的個(gè)數(shù)；
（ii）從袋中任意摸出3個(gè)球，記得到白球的個(gè)數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ．
（Ⅱ）求證：從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)黑球的概率不大于 ． 并指出袋中哪種顏色的球個(gè)數(shù)最少．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）（i）記“從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球”為事件A，
設(shè)袋中白球個(gè)數(shù)為x，則P（A）=1﹣=，
解得x=5，∴白球個(gè)數(shù)是5個(gè)．
（ii）隨機(jī)變量ξ的取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）===，
P（ξ=1）===，
P（ξ=2）===
P（ξ=3）===，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P

Eξ=x0+x2+x3=．
證明：（Ⅱ）設(shè)袋中有n個(gè)球，其中y個(gè)黑球，
由題意，得y=n，
∴2y＜n，2y≤n﹣1，
∴，
記“從袋中任意取出兩個(gè)球，至少有1個(gè)黑球”為事件B，
則P（B）=，
∴白球的個(gè)數(shù)比黑球多，白球個(gè)數(shù)多于n，黑球個(gè)數(shù)少于n，
故袋中紅球個(gè)數(shù)最少．
【解析】（Ⅰ）設(shè)袋中白球個(gè)數(shù)為x，由對(duì)立事件概率計(jì)算公式得：1﹣= ， 由此能求出白球個(gè)數(shù)．
（ii）隨機(jī)變量ξ的取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ
（Ⅱ）設(shè)袋中有n個(gè)球，其中y個(gè)黑球，由題意，得y=n，從而2y＜n，2y≤n﹣1，進(jìn)而 ， 由此能證明從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)黑球的概率不大于 ． 并得到袋中哪種顏色的球個(gè)數(shù)最少。