Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，且PA⊥AC，PA=AD=2．四邊形ABCD滿足BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=1．E為側棱PB的中點，F為側棱PC上的任意一點．
（1）求證：平面AFD⊥平面PAB；
（2）是否存在點F，使得直線AF與平面PCD垂直？若存在，寫出證明過程并求出線段PF的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由面面垂直的性質，證出PA⊥平面ABCD，從而得出PA⊥AD．結合AB⊥CD且PA∩AB=A，得到AD⊥平面PAB，再由面面垂直的判定定理證出平面AFFD⊥平面PAB；
（2）Rt△PAC中，過點A作AF⊥PC于點F，由題意在四邊形ABCD中證出CD⊥AC，由PA⊥平面ABCD證出PA⊥CD，從而CD⊥平面PAC，得到CD⊥AF，由CD∩PC=C，證出AF⊥平面PCD．Rt△PAC中利用題中數據求出PC長，再用直角三角形的性質算出PF長，可得存在點F滿足PF的長為

2 6

3

時，直線AF與平面PCD垂直．

解答：解：（1）∵平面ABCD⊥平面PAC，平面ABCD∩平面PAC=AC，
且PA?平面PAC，PA⊥AC．
∴PA⊥平面ABCD，
又∵AD?平面ABCD，∴PA⊥AD．
又∵AB⊥CD，PA∩AB=A，∴AD⊥平面PAB，
而AD?平面AFD，∴平面AFD⊥平面PAB．
（2）存在點F，使得直線AF與平面PCD垂直．證明如下：
在Rt△PAC中，過點A作AF⊥PC于點F，
由已知AB⊥AD，BC∥AD，AB=BC=1，AD=2．
可得CD⊥AC，
由（1）知PA⊥平面ABCD，可得PA⊥CD
又∵PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC．
∵AF?平面PAC，∴CD⊥AF．
又∵CD∩PC=C，∴AF⊥平面PCD
∵在Rt△PAC中，PA=2，AC=

2

，∠PAC=90°，
∴PC=

PA2+AC2

=

6

，PF=

PA2

PC

=

2 6

3

因此，存在點F，當線段PF的長為

2 6

3

時，直線AF與平面PCD垂直．

點評：本題在四棱錐中證明面面垂直，并探索線面垂直的存在性．著重考查了空間線面垂直、面面垂直的判定與性質，考查了直角三角形中有關計算的知識，屬于中檔題．