Question

如圖，一個幾何體由圓柱ADD₁A₁和三棱錐E-ABC組合而成，點A，B，C在⊙O的圓周上，E，A，D三點共線，已知AB⊥AC，AB=AC，AE=AD=1，BC=2．
（1）求證：AC⊥BD；
（2）求三棱錐C-BDE的體積．

Answer 1

分析：（1）由已知中EA⊥平面ABC，由線面垂直的性質可得ED⊥AC，結合AC⊥AB，由線面垂直的判定定理可得AC⊥平面EBD，再由線面垂直的性質得到AC⊥BD；
（2）由V_C-BDE=V_E-ABC+V_D-ABC，計算出底面ABC的面積，代入棱錐體積公式，可得答案．

解答：證明：（1）因為EA⊥平面ABC，AC?平面ABC，所以EA⊥AC，即ED⊥AC．
又因為AC⊥AB，AB∩ED=A，所以AC⊥平面EBD．
因為BD?平面EBD，所以AC⊥BD．（4分）
解：（2）V_C-BDE=V_E-ABC+V_D-ABC
又∵S_△ABC=

1

2

×2×1=1
∴V_E-ABC=

1

3

×S_△ABC×VA=

1

3

V_D-ABC=

1

3

×S_△ABC×DA=

1

3

∴V_C-BDE=

2

3

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的性質，棱錐的體積，其中熟練掌握空間線面垂直的判定及性質是解答的關鍵．