Question

A組：已知雙曲線的離心率，一條漸近線方程為．
（1）求雙曲線C的方程
（2）過點（0，）傾斜角為45°的直線l與雙曲線c恒有兩個不同的交點A和B，求|AB|．
B組：已知雙曲線的離心率，一條漸近線方程為．
（1）求雙曲線C的方程
（2）過點（0，）是否存在一條直線l與雙曲線c有兩個不同交點A和B且=2，若存在求出直線方程，若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：A（1）由題設知，由此能求出雙曲線C的方程．
（2）設直線l的方程為y=x+，聯立，得4x²+6-3=0，再由弦長公式能求出|AB|．
B（1）由題設知，由此能求出雙曲線C的方程．
（2）假設直線l存在．設直線l的方程為y=kx+，聯立，得（3k²+1）x²+6-3=0，由=2，得k²=-．不成立．故不存在一條直線l與雙曲線c有兩個不同交點A和B且=2．
解答：解：A（1）∵雙曲線的離心率，
一條漸近線方程為，
∴，解得a²=9，b²=3，
∴雙曲線C的方程為．
（2）過點（0，）傾斜角為45°的直線l的方程為y=x+，
聯立，得4x²+6-3=0，
△=（6）²+4×4×3=120，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-，x₁x₂=-，k=tan45°=1，
∴|AB|==．
BA（1）∵雙曲線的離心率，
一條漸近線方程為，
∴，解得a²=9，b²=3，
∴雙曲線C的方程為．
（2）假設直線l存在．設直線l的方程為y=kx+，
聯立，得（3k²+1）x²+6-3=0，
∵直線l與雙曲線c有兩個不同交點A和B，
∴△=（6k）²+4×（3k²+1）×3＞0，k∈R．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-，x₁x₂=-，
y₁y₂=（kx₁+）（kx₂+）=k²x₁x₂+（x₁+x₂）+2
=--+2
=．
∵=2，
∴x₁x₂+y₁y₂=-+==2，
整理，得k²=-．不成立．
故不存在一條直線l與雙曲線c有兩個不同交點A和B且=2．
點評：本題考查橢圓方程的求法，考查弦長的求法，考查直線是否存在的判斷．綜合性強，難度大，在一定的探索性，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．