Question

A組：已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的離心率e=

2 3

3

，一條漸近線方程為y=

3

3

x．
（1）求雙曲線C的方程
（2）過點（0，

2

）傾斜角為45°的直線l與雙曲線c恒有兩個不同的交點A和B，求|AB|．
B組：已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的離心率e=

2 3

3

，一條漸近線方程為y=

3

3

x．
（1）求雙曲線C的方程
（2）過點（0，

2

）是否存在一條直線l與雙曲線c有兩個不同交點A和B且

OA

•

OB

=2，若存在求出直線方程，若不存在請說明理由．

Answer 1

分析：A（1）由題設知

c a = 2 3 3 b a = 3 3 c2=a2+b2

，由此能求出雙曲線C的方程．
（2）設直線l的方程為y=x+

2

，聯立

y=x+ 2 x2 9 + y2 3 =1

，得4x²+6

2

x-3=0，再由弦長公式能求出|AB|．
B（1）由題設知

c a = 2 3 3 b a = 3 3 c2=a2+b2

，由此能求出雙曲線C的方程．
（2）假設直線l存在．設直線l的方程為y=kx+

2

，聯立

y=kx+ 2 x2 9 + y2 3 =1

，得（3k²+1）x²+6

2

kx-3=0，由

OA

•

OB

=2，得k²=-

1

5

．不成立．故不存在一條直線l與雙曲線c有兩個不同交點A和B且

OA

•

OB

=2．

解答：解：A（1）∵雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的離心率e=

2 3

3

，
一條漸近線方程為y=

3

3

x，
∴

c a = 2 3 3 b a = 3 3 c2=a2+b2

，解得a²=9，b²=3，
∴雙曲線C的方程為

x2

9

+

y2

3

=1．
（2）過點（0，

2

）傾斜角為45°的直線l的方程為y=x+

2

，
聯立

y=x+ 2 x2 9 + y2 3 =1

，得4x²+6

2

x-3=0，
△=（6

2

）²+4×4×3=120，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

3 2

2

，x₁x₂=-

3

4

，k=tan45°=1，
∴|AB|=

2[(- 3 2 2 )2-4×(- 3 4 )]

=

15

．
BA（1）∵雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的離心率e=

2 3

3

，
一條漸近線方程為y=

3

3

x，
∴

c a = 2 3 3 b a = 3 3 c2=a2+b2

，解得a²=9，b²=3，
∴雙曲線C的方程為

x2

9

+

y2

3

=1．
（2）假設直線l存在．設直線l的方程為y=kx+

2

，
聯立

y=kx+ 2 x2 9 + y2 3 =1

，得（3k²+1）x²+6

2

kx-3=0，
∵直線l與雙曲線c有兩個不同交點A和B，
∴△=（6

2

k）²+4×（3k²+1）×3＞0，k∈R．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

6 2 k

3k2+1

，x₁x₂=-

3

3k2+1

，
y₁y₂=（kx₁+

2

）（kx₂+

2

）=k²x₁x₂+

2

k（x₁+x₂）+2
=-

3k2

3k2+1

-

12k2

3k2+1

+2
=

2-9k2

3k2+1

．
∵

OA

•

OB

=2，
∴x₁x₂+y₁y₂=-

3

3k2+1

+

2-9k2

3k2+1

=

-1-9k2

3k2+1

=2，
整理，得k²=-

1

5

．不成立．
故不存在一條直線l與雙曲線c有兩個不同交點A和B且

OA

•

OB

=2．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查弦長的求法，考查直線是否存在的判斷．綜合性強，難度大，在一定的探索性，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．