Question

【題目】設函數f（x）=x2-4|x|-5．

（Ⅰ）畫出y=f（x）的圖象；

（Ⅱ）設A={x|f（x）≥7}，求集合A；

（Ⅲ）方程f（x）=k+1有兩解，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)見解析（2）（-∞，-6]∪[6，+∞）(3) {-10}∪（-6，+∞）

【解析】試題分析：

(1)將函數的解析式寫成分段函數的形式，然后結合二次函數的性質繪制函數圖象即可；

(2)分類討論和兩種情況可得集合A=（-∞，-6]∪[6，+∞）

(3)原問題等價于函數f（x）的圖象和直線y=k+1有兩個不同的交點，結合直線與二次函數的關于可得實數k的取值范圍是{-10}∪（-6，+∞）

試題解析：

（Ⅰ）∵函數f（x）=x2-4|x|-5=，畫出y=f（x）的圖象，如圖：

（Ⅱ）由f（x）≥7可得x2-4|x|-5≥7，

即①，或②．

解①得x≥6，解②可得 x≤-6，

故A={x|f（x）≥7}=（-∞，-6]∪[6，+∞）．

（Ⅲ）方程f（x）=k+1有兩解，即函數f（x）的圖象和直線y=k+1有兩個不同的交點，

由于當x=±2時，函數f（x）取得最小值為-9，

結合函數f（x）的圖象可得k+1=-9，或 k+1＞-5，

解得k=-10，或k＞-6，

即k的范圍為{-10}∪（-6，+∞）．