Question

(本小題滿分16分)
已知函數
(1) 若時，恒成立，求的取值范圍；
(2) 若時，函數在實數集上有最小值，求實數的取值范圍．

Answer 1

(1) ．
(2)當時，函數有最小值為；當時，函數無最小值．

本試題主要是考查了分段函數的最值和函數與不等式的關系的綜合運用。
（1）因為時，，所以令，則有，
當時恒成立，轉化為，即在上恒成立利用分離參數的思想得到范圍。
（2）當時，，即，
對于二次函數要討論對稱軸與定義域的關系得到最值。
(1) 因為時，，所以令，則有，
當時恒成立，轉化為，即在上恒成立，………2分
令p (t)＝t－，，則，所以p (t)＝t－在上單調遞增，
所以，所以，解得． ……………………………………6分
(2) 當時，，即，
當時，即，；
當時，即，．……………………………………………9分
當時，，令，，則，
當時，即，；
當時，即，，此時無最小值；……………………12分
所以，當時，即，函數；
當時， ，函數無最小值；
當時， ，函數無最小值．…………………………15分
綜上所述，當時，函數有最小值為；當時，函數無最小值．