Question

（2009•大連二模）已知映射：f：A→B，其中→A=R⁺，B=R，對應法則為：f：x→y=lnx+

1

x

，對于實數t∈B，在集合A中不存在原象，則t的取值范圍是（　　）

A．t＞0

B．t＜1

C．t＜0

D．t≥1

Answer 1

分析：實數t∈B，在集合A中不存在原象，表示t應該在A中所有元素在B中對應象組成的集合的補集中，故我們可以根據已知條件中的A=（0，+∞），B=R，映射f：A→B，對應法則為f：x?y=lnx+

1

x

，求出A中所有元素在B中對應的象組成的集合，再求其補集即可得到答案．

解答：解：函數f（x）=lnx+

1

x

，∴f′（x）=

1

x

-

1

x2

（x＞0）
令f′（x）=

1

x

-

1

x2

=0
解得x=1，
∵當x∈（0，1）時，f′（x）＜0，當x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0
故在區間（0，1）上，函數f（x）為減函數，在區間（1，+∞）上，函數f（x）為增函數，
則當x=1時，函數取最小值1，
∴當x∈A時，在映射f：A→B的作用下
對應象的滿足：y≥1．
故若實數t∈B，在集合A中不存在原象
則t應滿足，t＜1
即滿足條件的實數m的取值范圍是t＜1．
故選B．

點評：在集合A到B的映射中，若存在實數t∈B，在集合A中不存在原象，表示t應該在A中所有元素在B中對應象組成的集合的補集中．