Question

（05年遼寧卷）（12分）

函數在區間內可導，導函數是減函數，且．設，是曲線在點處的切線方程，并設函數．

         （Ⅰ）用、、表示m；

         （Ⅱ）證明：當，；

（Ⅲ）若關于x的不等式在上恒成立，其中a、b為實數，求b的取值范圍及a與b所滿足的關系．

Answer 1

解析：（Ⅰ）                                               ……2分

   （Ⅱ）證明：令

        因為遞減，所以遞增，因此，當；當.

所以是唯一的極值點，且是極小值點，可知的最小值為0，因此即            ……6分

 

   （Ⅲ）解法一：，是不等式成立的必要條件，以下討論設此條件成立.

        對任意成立的充要條件是

       

       另一方面，由于滿足前述題設中關于函數的條件，利用（II）的結果可知，的充要條件是：過點（0，）與曲線相切的直線的斜率大于，該切線的方程為

       于是的充要條件是                             ……10分

       綜上，不等式對任意成立的充要條件是

                                                  ①

       顯然，存在a、b使①式成立的充要條件是：不等式 ②

       有解、解不等式②得                          ③

       因此，③式即為b的取值范圍，①式即為實數在a與b所滿足的關系.  ……12分

 

（Ⅲ）解法二：是不等式成立的必要條件，以下討論設此條件成立.

   對任意成立的充要條件是

                                            ……8分

       令，于是對任意成立的充要條件是

        由

       當時當時，，所以，當時，取最小值.因此成立的充要條件是，即                ………10分

       綜上，不等式對任意成立的充要條件是

                                ①

       顯然，存在a、b使①式成立的充要條件是：不等式

                         ②

       有解、解不等式②得

       因此，③式即為b的取值范圍，①式即為實數在a與b所滿足的關系. ……12分