Question

已知m，n，s，t∈R⁺，m+n=2，，其中m、n是常數，當s+t取最小時，m、n對應的點（m，n）是雙曲線一條弦的中點，則此弦所在的直線方程為（ ）
A．x-2y+1=0
B．2x-y-1=0
C．2x+y-3=0
D．x+2y-3=0

Answer 1

【答案】分析：由題設中所給的條件m+n=2，，其中m、n是常數，當s+t取最小值時，求出點（m，n）的坐標，由于此點是其所在弦的中點，故可以用點差法求出此弦所在直線的斜率，再由點斜式寫出直線的方程，整理成一般式即可．
解答：解：由已知得s+t=（s+t）（）=（m+n++）≥（m+n+2）=（+）²，
由于s+t的最小值是，
因此（+）²=，即+=2，又m+n=2，
所以m=n=1．
設以點（m，n）為中點的弦的兩個端點的坐標分別是（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則有 ==1，即x₁+x₂=y₁+y₂=2①．
又該兩點在雙曲線上，則有，，
兩式相減得 -=0②，
把①代入②得 =，
即所求直線的斜率是，所求直線的方程是y-1=（x-1），即x-2y+1=0．
故選A
點評：本題考查直線與圓錐曲線的關系，求解本題的關鍵有二，一是利用基本不等式與最值的關系求出參數的值，一是利用點差法與中點的性質求出弦所在直線的斜率，點差法是知道中點的情況下常用的表示直線斜率的方法，其特征是有中點出現，做題時要善于運用．