Question

已知m、n、s、t∈R⁺，m+n=2，

m

s

+

n

t

=9其中m、n是常數，且s+t的最小值是

4

9

，滿足條件的點（m、n）是圓（x-2）²+（y-2）²=4中一弦的中點，則此弦所在的直線方程為

x+y-2=0

．

Answer 1

分析：根據s+t的最小值是

4

9

，根據均值不等式求得(s+t)(

m

s

+

n

t

)的最下值，進而求得此時的m和n，進而根據圓心坐標求得弦所在的直線的斜率，最后利用點斜式求得直線的方程．

解答：解：∵(s+t)(

m

s

+

n

t

)=m+n+

tm

s

+

sn

t

≥m+n+2

mn

，（m=n時取等號）
∴m+n+2

mn

=4，
∴mn=1，得m=n=1得點（1，1），
∵已知圓的圓心為（2，2），
∴所求之弦的斜率為-

1-2

1-2

=-1，
從而弦方程為x+y-2=0．
故答案為：x+y-2=0

點評：本題考查基本不等式、圓、直線方程等相關知識，其中整體代換是解題技巧，數形結合是解題思想解題探究．