Question

（本小題滿分13分）

在平面直角坐標系xOy中，已知點A(-1, 0)、B(1, 0), 動點C滿足條件：△ABC的周長為2＋2.記動點C的軌跡為曲線W.

(Ⅰ)求W的方程；

(Ⅱ)經過點（0, ）且斜率為k的直線l與曲線W 有兩個不同的交點P和Q，已知點M（，0），

N（0, 1），是否存在常數k，使得向量與共線？如果存在，求出k的值；如果不存在，

請說明理由.

  

Answer 1

解：(Ⅰ) 設C（x, y）,

∵ , , ∴ ,

∴ 由定義知，動點C的軌跡是以A、B為焦點，長軸長為2的橢圓除去與x軸的兩個交點.

∴ .  ∴ .

∴ W:   . …………………………………4分

(Ⅱ) 設直線l的方程為，代入橢圓方程，得.

整理，得.         ①……………………6分

因為直線l與橢圓有兩個不同的交點P和Q等價于

，解得或.

∴ 滿足條件的k的取值范圍為 ………… 8分

設P（x₁,y₁）,Q(x₂,y₂),則＝（x₁+x₂，y₁+y₂),

由①得.                 ②

又                ③

因為，， 所以.………………11分

所以與共線等價于.

將②③代入上式，解得.

所以不存在常數k，使得向量與共線. …………13分