Question

在正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，側棱是底面邊長的2倍，P是側棱CC₁上的任一點.

（1）求證：不論P在側棱CC₁上何位置，總有BD⊥AP；

（2）若CC₁＝3C₁P，求平面AB₁P與平面ABCD所成二面角的余弦值；

（3）當P點在側棱CC₁上何處時，AP在平面B₁AC上的射影是∠B₁AC的平分線?

Answer 1

解法一：（1）證明:由題意可知，不論P點在棱CC₁上的任何位置，AP在底面ABCD內射影都是AC，∵BD⊥AC，

∴BD⊥AP.                                                              

（2）延長B₁P和BC，設B₁P∩BC=M，連結AM，則AM=平面AB₁P∩平面ABCD,過B作BQ⊥AM于Q，連結B₁Q，由于BQ是B₁Q在底面ABCD內的射影，所以B₁Q⊥AM，故∠B₁QB就是所求二面角的平面角.                                           

依題意，知CM=2B₁C₁，從而BM=3BC.

∴AM=BC.在Rt△ABM中，

BQ=.在Rt△B₁BQ中，tan∠B₁QB=.

∴tan∠B₁QB.∴1+tan²∠B₁QB=.∴1+.∴cos∠B₁QB=為所求.                                                          

（3）設CP=a，BC=m，則BB₁=2m，C₁P=2m-a，從而B₁P²=m²+（2m-3）²，AB₁²=m²+4m²=5m²，AC=m.在Rt△ACP中，cos∠APC=.在△PAB₁中，cos∠PAB₁=.依題意，得∠PAC=∠PAB₁.

∴.                                             

∴AP²+AB₁²-B₁P²=2AC·AB₁,

即a²+2m²+5m²-[m²+（2m-a）²]=2m· m.

∴a= m=BB₁.故P距C點的距離是側棱的.           

解法二：（1）證明:如圖，建立空間直角坐標系.設CP=a，CC₁=6，∴B₁（0，3，6），B（0，3，0），C（-3，3，0），D（-3，0，0），P（-3，3，a）.=（-3，3，a），=（0，3，6），=（-3，-3，0），∵·=0，∴⊥.∴BD⊥AP.

（2）設n⊥平面AB₁P，n=（x，y，z），∵CC₁=3C₁P，∴P（-3，3，4）.

∵n·=0，n·=0，

∴解得

∴n=（-，-2，1）z.

又AA₁⊥平面ABCD，=（0，0，6），

∴n·=6z，

|n|=z,

||=6.

∴cos〈n，〉==±.

∵所求的二面角為銳角，

故平面AB₁P與平面ABCD所成二面角的余弦值為.                          

（3）∵cos〈，〉=，

∴cos〈，〉=.依題意，得cos〈，〉=cos〈，〉，

即3+2a=3，亦即a=×6=CC₁．

故P距C點的距離是側棱的.