Question

【題目】已知橢圓:離心率是分別是橢圓的左右焦點，過作斜率為的直線，交橢圓于，兩點，且三角形周長

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若直線分別交軸于不同的兩點，．如果為銳角，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）根據題意及橢圓定義，并借助，即可求得橢圓的標準方程；

（2）設出直線方程，點和點坐標，并與橢圓方程聯立，借助根與系數的關系表示出和，列出直線和的方程求出點和點坐標，利用向量數量積的坐標表示求出，將和的式子代入并化簡，再根據為銳角，即可得解.

（1）由題意，橢圓的離心率是，三角形周長，

可得，，

解得，，，所以橢圓的方程為.

（2）由題意知直線的斜率不為0，

設直線的方程為，直線與橢圓的交點為，，

由得，

，①

直線的方程為，令，則，

同理可得，

所以

將①代入并化簡，得，

因為為銳角，所以，即，

解得或.

所以，直線的斜率的取值范圍是

.