Question

【題目】無窮數列 ，若存在正整數，使得該數列由個互不相同的實數組成，且對于任意的正整數，中至少有一個等于，則稱數列具有性質.集合.

（1）若，，判斷數列是否具有性質；

（2）數列具有性質，且，求的值；

（3）數列具有性質，對于中的任意元素，為第個滿足的項，記 ，證明：“數列具有性質”的充要條件為“數列是周期為的周期數列，且每個周期均包含個不同實數”.

Answer 1

【答案】(1)具有；(2)2；(3)答案見解析.

【解析】試題分析：

（1）由題意可知是周期為2的周期數列，對于任意的正整數，，滿足性質的條件，故數列具有性質.

（2）由條件可知，考慮后面連續三項，由反證法可知.同理可得.

（3）充分性：由數列是周期為的周期數列，每個周期均包含中個不同元素.則由周期性得，于是數列為常數列，顯然滿足性質.

必要性：取足夠大的使包含中所有個互不相同的元素，考慮后的連續項，由反證法可知中任意元素，必等于中的某一個，再由數列性質中的條件得，，則數列為常數列，為常數列，據此可得數列是周期為的周期數列，且每個周期均包含個不同實數.

試題解析：

（1）因為，，是由2個不同元素組成的無窮數列，且是周期為2的周期數列，故，是周期為2的周期數列，對于任意的正整數，，滿足性質的條件，故數列具有性質.

（2）.由條件可知，考慮后面連續三項，若，

由及性質知中必有一數等于2，

于是中有兩項為2，故必有1或3不在其中，

不妨設為，考慮中最后一個等于的項，

則該項的后三項均不等于，故不滿足性質中條件，矛盾，

于是.同理.

（3）充分性：由數列是周期為的周期數列，每個周期均包含中個不同元素.

對于中的任意元素，為第個滿足的項，

故由周期性得，

于是，數列為常數列，顯然滿足性質.

必要性：取足夠大的使包含中所有個互不相同的元素，

考慮后的連續項，

對于中任意元素，必等于中的某一個，

否則考慮中最后一個等于的項，該項不滿足性質中條件，矛盾.

由的任意性知這個元素恰好等于中個互不相同的元素，

再由數列性質中的條件得，，

于是對于中的任意元素，存在，有 ，

即數列為常數列，

而數列滿足性質，故為常數列，

從而是周期數列，故數列是周期為的周期數列，

且每個周期均包含個不同實數.