Question

【題目】已知函數的定義域為，若存在常數，使得對任意的成立，則稱函數是“類周期函數”.

(1)判斷函數，是否是“類周期函數”，并證明你的結論；

(2)求證：若函數是“類周期函數”，且是偶函數，則是周期函數；

(3)求證：當時，函數一定是“類周期函數”.

Answer 1

【答案】（1）函數不是“類周期函數”， 是“類周期函數”，證明見解析（2）證明見解析（3）證明見解析

【解析】

（1）利用反證法可證斷函數不是“類周期函數”，當時，利用定義可證是“類周期函數”；

（2）根據，，，可推出，結論得證；

（3）由，即，也就是存在非零實根，可證得結論正確.

（1）函數不是“類周期函數”， 是“類周期函數”，

證明：假設函數是“類周期函數”，

則，即對任意的成立，

令得，所以，這與相矛盾，故假設不成立，

所以函數不是“類周期函數”；

因為時， ，根據定義可知是“類周期函數”.

（2）因為函數是“類周期函數”，

所以存在常數，使得對任意的成立，

所以，

又為偶函數，所以，

所以 ，

因為，所以，

又為偶函數，所以，

所以，

所以，

因為，所以是周期為的周期函數.

（3）當時，假設函數是“類周期函數”，

則存在常數，使得對任意的成立，

即存在常數，使得對任意的成立，

所以，此方程有非零實數解，

故當時，函數一定是“類周期函數”.