Question

一個均勻的正四面體的四個面上分別寫有1、2、3、4四個數字，現隨機投擲兩次，正四面體下底面上的數字分別為x₁、x₂，設O為坐標原點，點P的坐標為（x₁-3，x₂-3），記ξ=|

OP

|2．
（Ⅰ）分別求出ξ取得最大值和最小值時的概率；
（Ⅱ）求ξ的分布列及數學期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）擲出點數x可以是：1、2、3、4，ξ=（x₁-3）²+（x₂-3）²．則（x-3）²的所有取值分別為：0、1、4．因此ξ的所有取值為：0、1、2、4、5、8．由此能夠求出ξ取得最大值和最小值時的概率．
（Ⅱ）由ξ的所有取值為：0、1、2、4、5、8．且P(ξ=0)=P(ξ=8)=

1

16

；P(ξ=1)=

4

16

；P(ξ=2)=

4

16

；P(ξ=4)=

2

16

；P(ξ=5)=

4

16

．能求出ξ的分布列ξ的期望．

解答：解：（Ⅰ）擲出點數x可以是：1、2、3、4，ξ=（x₁-3）²+（x₂-3）²．
則x-（3分）別得：-2、-1、0、1，
于是（x-3）²的所有取值分別為：0、1、4．
因此ξ的所有取值為：0、1、2、4、5、8．
當x₁=x₂=1時，ξ=（x₁-3）²+（x₂-3）²可取得最大值8，
P(ξ=8)=

1

4

×

1

4

=

1

16

當x₁=x₂=3時，ξ=（x₁-3）²+（x₂-3）²可取得最小值0，
P(ξ=0)=

1

4

×

1

4

=

1

16

（Ⅱ）由（Ⅰ）知ξ的所有取值為：0、1、2、4、5、8．
且P(ξ=0)=P(ξ=8)=

1

16

；P(ξ=1)=

4

16

；
P(ξ=2)=

4

16

；
P(ξ=4)=

2

16

；
P(ξ=5)=

4

16

．
所以ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	4	5	8
P	1 16	1 4	1 4	1 8	1 4	1 16

即ξ的期望Eξ=0×

1

16

+1×

1

4

+2×

1

4

+4×

1

8

+5×

1

4

+8×

1

16

=3．

點評：本題考查離散型隨機變量的概率分布列和數學期望，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，是高考的重點，易錯點是知識體系不牢固．