Question

一個均勻的正四面體的四個面上分別涂有1，2，3，4四個數字，現隨機投擲兩次，正四面體面朝下的數字分別為x₁，x₂，記ξ=（x₁-3）²+（x₂-3）²．
（1）分別求出ξ取得最大值和最小值時的概率；
（2）求ξ的分布列及數學期望．

Answer 1

分析：（1）由題意知擲出點數x可能是：1，2，3，4．得到要用的代數式的值，得到ξ的所有取值為：0，1，2，4，5，8．理解變量取不同值時對應的事件，做出概率．
（2）由（Ⅰ）知ξ的所有取值為：0，1，2，4，5，8，理解變量取不同值時對應的事件，做出概率，寫出變量的分布列，求出期望，本題變量取值較多，解題時要注意運算，避免出錯．

解答：解：（1）擲出點數x可能是：1，2，3，4．
則x-3分別得：-2，-1，0，1．
于是（x-3）²的所有取值分別為：0，1，4．
因此ξ的所有取值為：0，1，2，4，5，8．
當x₁=1且x₂=1時，ξ=（x₁-3）²+（x₂-3）²可取得最大值8，
此時，P(ξ=8)=

1

4

×

1

4

=

1

16

；
當x₁=3且x₂=3時，ξ=（x₁-3）²+（x₂-3）²可取得最小值0．
此時，P(ξ=0)=

1

4

×

1

4

=

1

16

．
P(ξ=0)=P(ξ=8)=

1

16

；

（2）由（Ⅰ）知ξ的所有取值為：0，1，2，4，5，8．
當ξ=1時，（x₁，x₂）的所有取值為（2，3）、（4，3）、（3，2）、（3，4）．
即P(ξ=1)=

4

16

；
當ξ=2時，（x₁，x₂）的所有取值為（2，2）、（4，4）、（4，2）、（2，4）．
即P(ξ=2)=

4

16

；
當ξ=4時，（x₁，x₂）的所有取值為（1，3）、（3，1）．
即P(ξ=4)=

2

16

；
當ξ=5時，（x₁，x₂）的所有取值為（2，1）、（1，4）、（1，2）、（4，1）．
即P(ξ=5)=

4

16

．
P(ξ=8)=

1

16

∴ξ的分布列為：

所以Eξ=1×

1

4

+2×

1

4

+4×

1

8

+5×

1

4

+8×

1

16

=3

點評：概率教學的核心問題是讓學生了解隨機現象與概率的意義，加強與實際生活的聯系，以科學的態度評價身邊的一些隨機現象．適當地增加學生合作學習交流的機會，盡量地讓學生自己舉出生活和學習中與統計有關的實例．