Question

已知與圓C：x²+y²-2x-2y+1=0相切的直線l交x軸、y軸于A、B兩點，O為坐標原點，且|OA|=a，|OB|=b
（a＞2，b＞2）．
（1）求直線l與圓C相切的條件；
（2）在（1）的條件下，求線段AB的中點軌跡方程；
（3）在（1）的條件下，求△AOB面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）由已知中圓C：x²+y²-2x-2y+1=0，直線交x軸、y軸于A、B兩點|OA|=a，|OB|=b，我們設以分別求出直線的一般方程，和圓的標準方程，然后根據直線與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑得到結論；
（2）設線段AB的中點M（x，y），代入（1）的結論，整理后，即可得到答案；
（3）S△AOB=

1

2

|ab|，結合（1）的結論，及均值不等式，即可得到答案．

解答：解：設直線l的方程為

x

a

+

y

b

=1，即bx+ay-ab=0，圓C的標準方程為（x-1）²+（y-1）²=1，圓心C（1，1），半徑r=1．
（1）直線l與圓C相切，則

|b+a-ab|

a2+b2

=1，∴（a-2）（b-2）=2（4分）
（2）設線段AB的中點M（x，y），則x=

a

2

，y=

b

2

，即a=2x，b=2y，代入（a-2）（b-2）=2，得(x-1)(y-1)=

1

2

(x＞1，y＞1)（8分）
（3）S△AOB=

1

2

|ab|=a+b-1=（a-2）+（b-2）+3≥2

(a-2)(b-2)

+3=2

2

+3
當且僅當a=b=2+

2

時，△AOB的面積最小，最小值為2

2

+3

點評：本題考查的知識點是直線和圓的方程的應用，軌跡方程，直線與圓的位置關系，考查的解題方法為坐標法，難度中等．