Question

 已知函數f（x）＝log_a是奇函數（a>0，a≠1）。

   （Ⅰ） 求m的值；

   （Ⅱ） 求f′（x）和函數f（x）的單調區間；

   （Ⅲ） 若當xÎ（1，a－2）時，f（x）的值域為（1，＋¥），求實數a的值。

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解析：（Ⅰ） 依題意，f（－x）＝－f（x），即f（x）＋f（－x）＝0，

即log_a＋log_a＝0，

∴∙＝1，m²x＝x，1－m²＝0，∴m＝－1或m＝1（不合題意，舍去）

當m＝－1時f（x）的定義域為＞0，即xÎ（－¥，－1）∪（1，＋¥），

又有f（－x）＝－f（x），

∴m＝－1是符合題意的解                                               （3分）

（Ⅱ） ∵f（x）＝log_a ，

∴f′（x）＝（）^′log_ae＝∙log_ae＝log_ae        （5分）

① 若a>1，則log_ae>0

當xÎ（1，＋¥）時，1－x²<0，∴f′（x）<0，f（x）在（1，＋¥）上單調遞減，

即（1，＋¥）是f（x）的單調遞減區間；

由奇函數的性質，（－¥，－1）是f（x）的單調遞減區間

② 若0<a<1，則log_ae<0

當xÎ（1，＋¥）時，1－x²<0，∴f′（x）>0，

∴（1，＋¥） 是f（x）的單調遞增區間；由奇函數的性質，

（－¥，－1）是f（x）的單調遞增區間                                  （8分）

（Ⅲ） 令t＝＝1＋，則t為x的減函數

當xÎ（1，a－2），\d\fo0 ((（1，＋¥），即當1<a－2時，

有a>3，且tÎ（1＋，＋¥）要使f（x）的值域為（1，＋¥），

需log_a（1＋）＝l，解得a＝2＋                    （12分）