Question

已知函數f(x)＝x³－2x²＋ax(x∈R，a∈R)，在曲線y＝f(x)的所有切線中，有且僅有一條切線l與直線y＝x垂直．

(1)求a的值和切線l的方程；

(2)設曲線y＝f(x)上任一點處的切線的傾斜角為θ，求θ的取值范圍

 

Answer 1

【答案】

(1)由題設知k_l＝－1，所以方程f′(x)＝x²－4x＋a＝－1有兩個等根，即Δ＝16－4(a＋1)＝0.解得a＝3.

此時，由方程x²－4x＋4＝0，結合已知解得切點為.

所以切線l的方程為y－＝－(x－2)，即3x＋3y－8＝0.

(2)設曲線y＝f(x)上任一點(x，y)處的切線的斜率為k(由題意知k存在)，則由(1)，

知k＝x²－4x＋3＝(x－2)²－1≥－1.

由正切函數的單調性，知θ的取值范圍為∪.

【解析】略