Question

己知f（x）=lnx-ax²-bx．
（1）若a=1，函數f（x）在其定義域內是增函數，求b的取值范圍；
（2）當a=1，b=-1時，證明函數f（x）只有一個零點；
（3）若f（x）的圖象與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂）兩點，AB中點為C（x₀，0），求證：f'（x₀）＜0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意：f（x）=lnx+x²-bx，由f（x）在（0，+∞）上遞增，知f′(x)=

1

x

+2x-b≥0對x∈（0，+∞）恒成立，只需b≤（

1

x

+2x）_min，由此能夠求出b的取值范圍．
（Ⅱ）當a=1，b=-1時，f（x）=lnx-x²+x，其定義域是（0，+∞），故f′(x)=

1

x

-2x+1=-

2x2-x-1

x

=-

(x-1)(2x+1)

x

，由此能夠證明函數f（x）只有一個零點．
（Ⅲ）由f（x）的圖象與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂）兩點，知

lnx1=ax12+bx1 lnx2=ax22+bx2

，故ln

x1

x2

=（x₁-x₂）[a（x₁+x₂）+b]，由此能夠證明f'（x₀）＜0．

解答：（Ⅰ）解：依題意：f（x）=lnx+x²-bx，
∵f（x）在（0，+∞）上遞增，∴f′(x)=

1

x

+2x-b≥0對x∈（0，+∞）恒成立，
即b≤

1

x

+2x對x∈（0，+∞）恒成立，
∴只需b≤（

1

x

+2x）_min，
∵x＞0，∴

1

x

+2x≥2

2

，
當且僅當x=

2

2

時，取“=”號，
∴b≤2

2

，
∴b的取值范圍為（-∞，2

2

]．…（4分）
（Ⅱ）證明：當a=1，b=-1時，f（x）=lnx-x²+x，其定義域是（0，+∞），
∴f′(x)=

1

x

-2x+1=-

2x2-x-1

x

=-

(x-1)(2x+1)

x

，
∵x＞0，∴0＜x＜1時，f′（x）＞0．
當x＞1時，f′（x）＜0．
∴函數f（x）在區間（0，1）上單調遞增，在區間（1，+∞）上單調遞減，
∴當x=1時，函數f（x）取得最大值，其值為f（1）=ln1-1²+1=0，
當x≠1時，f（x）＜f（1），即f（x）＜0，
∴函數f（x）只有一個零點．…（8分）
（Ⅲ）證明：∵f（x）的圖象與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂）兩點，
∴

f(x1)=lnx1-ax12-bx1=0 f(x2)=lnx2-ax22-bx2=0

，
∴

lnx1=ax12+bx1 lnx2=ax22+bx2

，
兩式相減，得
ln

x1

x2

=a（x₁+x₂）（x₁-x₂）+b（x₁-x₂），
∴ln

x1

x2

=（x₁-x₂）[a（x₁+x₂）+b]，
由f′(x)=

1

x

-2ax-b及2x₀=x₁+x₂，得
f′(x0)=

1

x0

-2ax0-b
=

2

x1+x2

-[a（x₁+x₂）+b]
=

2

x1+x2

-

1

x1-x2

ln

x1

x2

=

1

x1-x2

[

2(x1-x2)

x1+x2

-ln

x1

x2

]
=

1

x1-x2

[

2( x1 x2 -1)

( x1 x2 +1)

-ln

x1

x2

]，
令t=

x1

x2

，∅（t）=

2t-2

t+1

-lnt，0＜t＜1，
∵∅′（t）=-

(t-1)2

t(t+1)2

＜0，
∴∅（t）在（0，1）上遞減，∴∅（t）＞∅（1）=0，
∵x₁＜x₂，∴f'（x₀）＜0．

點評：本題考查實數取值范圍的求法，函數只有一個零點的證明，不等式的證明．解題時要認真審題，仔細解答，注意導數知識的綜合運用．