Question

己知f（x）=lnx-ax²-bx．
（Ⅰ）若a=-1，函數f（x）在其定義域內是增函數，求b的取值范圍；
（Ⅱ）當a=1，b=-1，時，證明函數f（x）只有一個零點．

Answer 1

分析：（I）將f（x）在（0，+∞）上遞增，轉化成f′（x）≥0對x∈（0，+∞）恒成立，即b≤

1

x

+2x對x∈（0，+∞）恒成立，只需b≤(

1

x

+2x)min即可，根據基本不等式可求出(

1

x

+2x)min；
（II）先求出函數的定義域，然后求出f′（x），在定義域內求出f′（x）＞0 與f′（x）＜0，從而得到函數f（x）在定義域內的單調性，得到函數f（x）的最大值為0，從而當x≠1時，f（x）＜f（1），即f（x）＜0，則函數f（x）只有一個零點．

解答：解：（Ⅰ）依題意：f（x）=lnx+x²-bx
∵f（x）在（0，+∞）上遞增，∴f′（x）=

1

x

+2x-b≥0對x∈（0，+∞）恒成立
即b≤

1

x

+2x對x∈（0，+∞）恒成立，∴只需b≤(

1

x

+2x)min
∵x＞0，∴

1

x

+2x≥2

2

當且僅當x=

2

2

時取“=”，∴b≤2

2

，
∴b的取值范圍為（-∞，2

2

]

（Ⅱ）當a=1，b=1時，f（x）=lnx-x²-b，其定義域是（0，+∞）
∴f′（x）=

1

x

-2x+1=-

2x2-x-1

x

=-

(x-1)(2x+1)

x

∵x＞0，∴0＜x＜1時，f′（x）＞0；當x＞1時，f′（x）＜0
∴函數f（x）在區(qū)間（0，1）上單調遞增，在區(qū)間（1，+∞）上單調遞減
∴當x=1時，函數f（x）取得最大值，其值為f（1）=ln1-1²+1=0
當x≠1時，f（x）＜f（1），即f（x）＜0
∴函數f（x）只有一個零點

點評：本題主要考查導函數的正負與原函數的單調性之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減，同時考查了轉化與劃歸的思想，分析問題解決問題的能力，屬于中檔題．