Question

已知函數f（x）=2sin（ωx+φ）的圖象過點A(

π

6

，

2

)，其中ω=

1

2

(tan15°+cot15°)φ∈(0，

π

2

)
（1）求φ、ω的值．
（2）求函數f（x）的最大值及最大值時x的取值集合．．

Answer 1

分析：（1）利用同角三角函數關系式把tan15°和cot15°化為正弦和余弦，就可求出ω的值，再把點A（

π

6

，

2

）
代入函數f（x）=2sin（ωx+φ）中求出φ值．
（2）把2x+

5π

12

看做一個整體，當這個整體等于

π

2

+2kπ時，函數有最大值，且最大值等于 2，再求出此時x的取值范圍即可．

解答：答案：（1）∵ω=

1

2

(tan15°+cot15°)=

1

2

(

sin15°

cos15°

+

cos15°

sin15°

)
=

sin215°+cos215°

2sin15°cos15°

=

1

sin30°

=2
∴函數f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin（2x+φ）
∵函數f（x）的圖象過點A（

π

6

，

2

）
∴

2

=2sin（2×

π

6

+φ），
∴

2

=2sin（

π

3

+φ），
∴sin（

π

3

+φ）=

2

2

，
∴

π

3

+φ=

π

4

+2kπ，k∈Z，或

π

3

+φ=

3π

4

+2kπ，k∈Z
∴φ=-

π

12

+2kπ，k∈Z，或φ=

5π

12

+2kπ，k∈Z，
∵φ∈（0，

π

2

），∴φ=

5π

12

∴ω=2，?=

5π

12

（2）由（1）知函數f（x）=2sin（2x+

5π

12

）
∴當2x+

5π

12

=

π

2

+2kπ，k∈Z，即x=kπ+

π

24

，k∈Z時，函數f（x）有最大值，且最大值為2．
此時x的取值集合為{x|x=kπ+

π

24

，k∈Z}

點評：本題主要考查根據三角函數的性質求解析式，以及三角函數的最大值的求法，做題時要借助于基本正弦函數的性質．