Question

設常數a＞0，(ax-

1

x

)5展開式中x³的系數為-

5

81

，則a=

 

，

lim

n→∞

(a+a2+…+an)=

 

．

Answer 1

分析：（1）利用二項展開式通項公式Tr+1=c₅^r（ax）^5-r（-

1

x

）^r，整理后，令x的次數等于3，從而解得a，
（2）再求等比數列的前n項和，s_n=

a×(1-an)

1-a

，且

lim

n→∞

aⁿ=0（∵a＜1），從而得解．
方法2：由a=

1

3

＜1，可知數列a，a²…aⁿ是遞降等比數列，則

lim

n→∞

（a+a²+…+aⁿ）表示無窮遞降等比數列的各項和，利用無窮遞降等比數列的各項和公式，可得解．

解答：解：（1）由Tr+1=c₅^r（ax）^5-r（-

1

x

）^r，整理得Tr+1=（-1）^rc₅^ra^5-rx^5-2r，
r=1時，即（-1）c₅¹a⁴=-

5

81

，∴a=

1

3

．故答案為

1

3

（2）方法1：令s_n=a+a²+…+aⁿ=

a×(1-an)

1-a

，
∴

lim

n→∞

（a+a²+…+aⁿ）=

lim

n→∞

a×(1-an)

1-a

=

a

1-a

（∵a＜1時，

lim

n→∞

aⁿ=0）
=

1 3

1- 1 3

=

1

2

．
故答案為

1

2

．
方法2：由a=

1

3

，可知數列a，a²…aⁿ是遞降等比數列，
則

lim

n→∞

（a+a²+…+aⁿ）表示無窮遞降等比數列的各項和，
由無窮遞降等比數列的各項和公式（

lim

n→∞

sn=

a1

1-q

），
可知

lim

n→∞

（a+a²+…+aⁿ）=

a

1-a

═

1 3

1- 1 3

=

1

2

．
故答案為

1

2

．

點評：本題（1）主要考查二項式展開式特定項的系數的求法，需要熟記展開式的通項公式，即Tr+1=c_n^ra^n-rb^r．是高考的常見題型．
（2）主要考查等比數列求和公式及極限的運算，需要注意：當a的絕對值小于1時，

lim

n→∞

aⁿ=0，方法2：要記住無窮遞降等比數列各項和公式

lim

n→∞

s_n=

a1

1-q

．在選擇填空中可以加快速度．