Question

已知函數f（x）=x+

a

x

有如下性質：如果常數a＞0，那么該函數在（0，

a

]上是減函數，在[

a

，+∞）上是增函數．
（1）如果函數y=x+

2b

x

（x＞0）在（0，4]上是減函數，在[4，+∞）是增函數，求b的值；
（2）證明：函數f（x）=x+

a

x

（常數a＞0）在（0，

a

]上是減函數；
（3）設常數c∈（1，9），求函數f（x）=x+

c

x

在x∈[1，3]上的最小值和最大值．

Answer 1

分析：（1）根據題設條件知

2b

=4，由此可知求出b值；
（2）由已知中函數的解析式，求出函數的導函數，判斷導數在（0，

a

]上的符號，進而可由導數符號與函數單調性的關系得到答案．
（3）由常數c∈（1，9），可得

c

的范圍，根據已知可得當x=

c

時，函數取最小值，比較f（1）與f（3）的大小，可得函數的最大值．

解答：解：（1）∵函數f（x）=x+

a

x

在（0，

a

]上是減函數，在[

a

，+∞）上是增函數
且函數y=x+

2b

x

（x＞0）在（0，4]上是減函數，在[4，+∞）是增函數，
故

2b

=4
解得b=4
證明：（2）∵函數f（x）=x+

a

x

（常數a＞0）
∴f（x）=1-

a

x2

，
當x∈（0，

a

]時，x²≤a
即

a

x2

≥1，
此時f（x）=1-

a

x2

≤0恒成立
故函數f（x）=x+

a

x

（常數a＞0）在（0，

a

]上是減函數
（3）當c∈（1，9）時，

c

∈（1，3）
故當x=

c

時，函數取最小值2

c

而f（1）-f（3）=

2(c-3)

3

故當1＜c≤3時，函數的最大值是f（3）=3+

c

3

當3＜c＜9時，函數的最大值是f（1）=1+c

點評：本題考查的知識點是函數的最值及其意義，函數單調性的性質，熟練掌握對勾函數f（x）=x+

a

x

（常數a＞0）的圖象和性質是解答本題的關鍵．