Question

設拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F，點M在C上，|MF|=5，若以MF為直徑的圓過點（0，2），則C的方程為（　　）

A．y2=4x或y2=8x	B．y2=2x或y2=8x
C．y2=4x或y2=16x	D．y2=2x或y2=16x

Answer 1

∵拋物線C方程為y²=2px（p＞0）
∴焦點F坐標為（

p

2

，0），可得|OF|=

p

2

∵以MF為直徑的圓過點（0，2），
∴設A（0，2），可得AF⊥AM
Rt△AOF中，|AF|=

22+( p 2 )2

=

4+ p2 4

∴sin∠OAF=

|OF|

|AF|

=

p 2

4+ p2 4

∵根據拋物線的定義，得直線AO切以MF為直徑的圓于A點，
∴∠OAF=∠AMF，可得Rt△AMF中，sin∠AMF=

|AF|

|MF|

=

p 2

4+ p2 4

，
∵|MF|=5，|AF|=

4+ p2 4

∴

4+ p2 4

5

=

p 2

4+ p2 4

，整理得4+

p2

4

=

5p

2

，解之可得p=2或p=8
因此，拋物線C的方程為y²=4x或y²=16x
故選：C