Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）若是函數(shù)是極值點(diǎn)，1是函數(shù)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)，的值和函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ） 若對(duì)任意，都存在（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】 試題分析: （1）對(duì)求導(dǎo), ,利用已知條件x=2是函數(shù)極值點(diǎn),1是函數(shù)零點(diǎn),可得a,b的值,進(jìn)而得到的單調(diào)區(qū)間; （2）構(gòu)造函數(shù),由b的范圍及其范圍內(nèi)的任意性將問題轉(zhuǎn)化為存在,使得,對(duì)求導(dǎo)并構(gòu)造函數(shù),利用分類討論的方法研究兩種情況下的函數(shù)正負(fù),最終證明當(dāng)a>1時(shí),對(duì)任意,都存在,使得成立.

試題解析:解：（Ⅰ）.

∵是函數(shù)的極值點(diǎn)，∴.

又∵1是函數(shù)的零點(diǎn)，∴.

聯(lián)立，解得：，∴，

，.

∵在，，∴在（0,2）上單調(diào)遞減；又在，，

∴在上單調(diào)遞增.

（Ⅱ）令，，則為關(guān)于的一次函數(shù)且為增函數(shù)，

∴要使成立，只需在有解.

令：，只需存在，使得.

由于，，

令：，∴，

∴在遞增，∴.

（ⅰ）當(dāng)時(shí)，，即，

∴在是單調(diào)遞增，∴，不合題意.

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，

若，則上單調(diào)遞減，

∴存在，使得，符合題意.

若，則，即，

∴存在使得.

∴在上成立，∴在上單調(diào)遞減，

∴存在使得成立.

綜上所述：當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，都存在使得.