Question

若函數f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1）在（-∞，+∞）上既是奇函數又是增函數，則其導函數f′（x）的圖象可能是（　　）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

分析：由奇函數和增函數的性質可得k=1，a＞1，進而可得函數的解析式，求導后綜合研究選項可得答案．

解答：解：∵函數f（x）=ka^x-a^-x，（a＞0且a≠1）在（-∞，+∞）上是奇函數
則f（-x）+f（x）=0，即ka^-x-a^x+ka^x-a^-x=0，故（k-1）（a^x-a^-x）=0，解得k=1，
又∵函數f（x）=ka^x-a^-x，（a＞0，a≠1）在（-∞，+∞）上是增函數，所以a＞1，
因此函數f（x）=a^x-a^-x，（a＞1），求其導數可得f′（x）=（a^x+a^-x）lna，
可知f′（0）=2lna＞0，而四個選項中僅有B滿足，
故選B

點評：本題考查函數的奇偶性和單調性，涉及導數和函數的圖象，屬中檔題．