Question

對于具有相同定義域D的函數f（x）和g（x），若存在函數h（x）=kx+b（k，b為常數）對任給的正數m，
存在相應的x₀∈D使得當x∈D且x＞x₀時，總有

0＜f(x)-h(x)＜m 0＜h(x)-g(x)＜m

，則稱直線l：y=ka+b為曲線y=f（x）和y=g（x）的“分漸進性”．給出定義域均為D={x|x＞1}的四組函數如下：
①f（x）=x²，g（x）=

x

②f（x）=10^-x+2，g（x）=

2x-3

x

③f（x）=

x2+1

x

，g（x）=

xlnx+1

lnx

④f（x）=

2x2

x+1

，g（x）=2（x-1-e^-x）
其中，曲線y=f（x）和y=g（x）存在“分漸近線”的是（　　）

• A、①④
• B、②③
• C、②④
• D、③④

Answer 1

分析：本題從大學數列極限定義的角度出發，仿造構造了分漸近線函數，目的是考查學生分析問題、解決問題的能力，考生需要抓住本質：存在分漸近線的充要條件是x→∞時，f（x）-g（x）→0進行作答，是一道好題，思維靈活，要透過現象看本質．

解答：解：f（x）和g（x）存在分漸近線的充要條件是x→∞時，f（x）-g（x）→0．
對于①f（x）=x²，g（x）=

x

，當x＞1時便不符合，所以①不存在；
對于②f（x）=10^-x+2，g（x）=

2x-3

x

肯定存在分漸近線，因為當時，f（x）-g（x）→0；
對于③f（x）=

x2+1

x

，g（x）=

xlnx+1

lnx

，f(x)-g(x)=

1

x

-

1

lnx

，
設λ（x）=x-lnx，λn(x)=

1

x2

＞0，且lnx＜x，
所以當x→∞時x-lnx越來愈大，從而f（x）-g（x）會越來越小，不會趨近于0，
所以不存在分漸近線；
對于④f（x）=

2x2

x+1

，g（x）=2（x-1-e^-x），當x→0時，f(x)-g(x)=

-2

1+ 1 x

+2+

2

ex

→0，
因此存在分漸近線．故，存在分漸近線的是②④選C
故選C

點評：本題較難，涉及到部分大學內容，屬于拓展類題目