Question

某公司生產的A型商品通過租賃柜臺進入某商場銷售.第一年，商場為吸引廠家，決定免收該年管理費，因此，該年A型商品定價為每件70元，年銷售量為11.8萬件.第二年，商場開始對該商品征收比率為p%的管理費（即銷售100元要征收p元），于是該商品的定價上升為每件元，預計年銷售量將減少p萬件.

（1）將第二年商場對該商品征收的管理費y(萬元)表示成p的函數,并指出這個函數的定義域；

（2）要使第二年商場在此項經營中收取的管理費不少于14萬元，則商場對該商品征收管理費的比率p%的范圍是多少？

（3）第二年，商場在所收管理費不少于14萬元的前提下，要讓廠家獲得最大銷售金額，則p應為多少？

Answer 1

解析：根據題目分析可以得到第二年該商品年銷售量為（11.8-p）萬件，年銷售收入

為(11.8-p)萬元，則商場該年對該商品征收的總管理費為(11.8-p)p%（萬元），可以得到所求函數，利用函數關系式的自變量和因變量取值范圍便可解決后面的問題.

答案：（1）依題意，第二年該商品年銷售量為（11.8-p）萬件，年銷售收入為(11.8-p)萬元，則商場該年對該商品征收的總管理費為(11.8-p)p%（萬元）.

故所求函數為:y=(118-10p)p.由 11.8-p＞0及p＞0得定義域為0＜p＜.

（2）由y≥14，得(118-10p)p≥14.化簡得p²-12p+20≤0，即(p-2)(p-10)≤0，

解得2≤p≤10.故當比率在［2%，10%］內時，商場收取的管理費將不少于14萬元.

（3）第二年，當商場收取的管理費不少于14萬元時，廠家的銷售收入為g(p)=(11.8-p)（2≤p≤10）.

∵g(p)=(11.8-p)=700(10-)為減函數，

∴g(p)_max=g(2)=700（萬元）. 

故當比率為2%時，廠家銷售金額最大，且商場所收管理費又不少于14萬元.