Question

某公司生產的A型商品通過租賃柜臺進入某商場銷售．第一年，商場為吸引廠家，決定免收該年管理費，因此，該年A型商品定價為每件70元，年銷售量為11.8萬件．第二年，商場開始對該商品征收比率為p％的管理費(即銷售100元要征收p元)，于是該商品的定價上升為每件元，預計年銷售量將減少p萬件.

(1) 將第二年商場對該商品征收的管理費y(萬元)表示成p的函數，并指出這個函數的定義域；

(2) 要使第二年商場在此項經營中收取的管理費不少于14萬元，則商場對該商品征收管理費的比率p％的范圍是多少?

(3) 第二年，商場在所收管理費不少于14萬元的前提下，要讓廠家獲得最大銷售金額，則p應為多少?  

Answer 1

解：(1)依題意，第二年該商品年銷售量為(11.8－p)萬件，

  年銷售收入為 (11.8一p)萬元，

 則商場該年對該商品征收的總管理費為 (11?8一p)p％(萬元)

 故所求函數為 y=

 由11.8－p>0及p>0得定義域為0<p<11.8 

    (2) 由y≥14得≥14

  化簡得p²－12p+20≤0，即(p－2)(p－10)≤0，解得2≤p≤l0

  故當比率為[2％，10％]內時，商場收取的管理費將不少于14萬元．

    (3) 第二年，當商場收取的管理費不少于14萬元時，

  廠家的銷售收入為g(p)=    (2≤p≤10)

   ∵ g(p)=  =700(10+)為減函數，

   ∴ g(p)_max =g(2)=700(萬元)

故當比率為2％時，廠家銷售金額最大，且商場所收管理費又不少于14萬元。