Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；

（2）對于任意的，的圖象恒在圖象的上方，求實(shí)數(shù)a的取值菹圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）求出的值可得切點(diǎn)坐標(biāo)，求出的值，可得切線斜率，利用點(diǎn)斜式可得曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）由題意得在恒成立，令，則需求出函數(shù)的最小值即可，但由于的零點(diǎn)不易求出，故通過再次求導(dǎo)的方法逐步求解，進(jìn)而求得的最小值．

（1）當(dāng)時，，

∴，

∴，

又，

∴函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，

即．

（2）由題知當(dāng)時，恒成立，

即當(dāng)時，恒成立，

等價于在恒成立．

令，

則，

令，則，

∴在上單調(diào)遞增，且，

存在唯一零點(diǎn)，

使得，

且當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增．

∴．

由，得，

∴，

即．

設(shè)，則,

∴在單調(diào)遞增．

∴，

∴，

∴ ,

∴．

∴．

故實(shí)數(shù)的取值范圍為．