Question

已知離心率為的橢圓C₁的頂點(diǎn)，A₁、A₂恰好是雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上不同于A₁、A₂的任意一點(diǎn)，設(shè)直線PA₁，PA₂的斜率分別為k₁，k₂。
（Ⅰ）求橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）試判斷k₁·k₂的值是否與點(diǎn)P的位置有關(guān)，并證明你的結(jié)論；
（Ⅲ）當(dāng)k₁=時，圓C₂：x²+y²-2mx=0被直線PA₂截得弦長為，求實(shí)數(shù)m的值。

Answer 1

解：（Ⅰ）雙曲線的左右焦點(diǎn)為（±2，0），
即的坐標(biāo)分別為（-2，0），（2，0），
所以，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則a=2，
且，所以，從而，
所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。
（Ⅱ）設(shè)，則，即，
，
所以，的值與點(diǎn)P的位置無關(guān)，恒為。 
（Ⅲ）由圓：得，
其圓心為，半徑為|m|，
由（Ⅱ）知當(dāng)時，，故直線的方程為，即，
所以，圓心為到直線的距離為，
又由已知圓：被直線截得弦長為及垂徑定理得，
圓心到直線的距離，
所以，，
即，解得m=-2或m=1，
所以，實(shí)數(shù)m的值為1或-2。