Question

【題目】如圖，在四棱錐中，，，平面，點在棱上.

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）若直線平面，求此時三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.

【解析】

(I)先利用正弦定理以及三角形內角和定理證明,結合可得平面，由此能證明平面平面；(II)連結與交于點，連結 ,可證明，由=，由此能求出三棱推的體積.

（Ⅰ）因為AB⊥平面PAD，

所以AB⊥DP，

又因為，AP=2，∠PAD=60°，

由，可得，所以∠PDA=30°，

所以∠APD=90°，即DP⊥AP，

因為，所以DP⊥平面PAB，

因為，所以平面PAB⊥平面PCD

（Ⅱ）連結AC，與BD交于點N，連結MN，因為PA//平面MBD，

MN為平面PAC與平面MBD的交線，所以PA//MN，

所以，

在四邊形ABCD中，因為AB//CD，所以，

所以，，.

因為AB⊥平面PAD，所以AB⊥AD，且平面APD⊥平面ABCD，

在平面PAD中，作PO⊥AD，則PO⊥平面ABCD，

因為，

所以

因為CD=3.所以，

所以.