Question

已知函數(x∈R)．
(1)求函數的單調區間和極值；
(2)已知函數的圖象與函數的圖象關于直線x＝1對稱，證明當x＞1時，．

Answer 1

(1) f(x)在(－∞，1)上是增函數，在(1，＋∞)上是減函數．故函數f(x)在x＝1處取得極大值f(1)，且f(1)＝　 (2)見解析

本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。
（1）根據已知函數求解導數，結合導數的 符號與單調性的關系得到單調區間。
（2）構造函數由題意可知g(x)＝f(2－x)，
得g(x)＝(2－x)e^x－2.
令F(x)＝f(x)－g(x)，即F(x)＝xe^－x＋(x－2)e^x－2.
于是F′(x)＝(x－1)(e^2x－2－1)e^－x.
當x＞1時，2x－2＞0，從而e^2x－2－1＞0.
又e^－x＞0，
結合單調性得到結論。
解：(1)f′(x)＝(1－x)e^－x.令f′(x)＝0，
解得x＝1.
當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：

所以f(x)在(－∞，1)上是增函數，在(1，＋∞)上是減函數．
故函數f(x)在x＝1處取得極大值f(1)，且f(1)＝.
(2)證明：由題意可知g(x)＝f(2－x)，
得g(x)＝(2－x)e^x－2.
令F(x)＝f(x)－g(x)，即F(x)＝xe^－x＋(x－2)e^x－2.
于是F′(x)＝(x－1)(e^2x－2－1)e^－x.
當x＞1時，2x－2＞0，從而e^2x－2－1＞0.
又e^－x＞0，
所以F′(x)＞0，從而函數F(x)在[1，＋∞)上是增函數．
又F(1)＝e^－1－e^－1＝0，
所以x＞1時，有F(x)＞F(1)＝0，
因此，當x＞1時，f(x)＞g(x)．