Question

（本小題滿分12分）
為實數，函數
（1）求的單調區間
（2）求證：當且時，有
（3）若在區間恰有一個零點，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）的遞減區間為；遞增區間為.
（2）
；
（3）   

本試題主要是考查了函數的單調性和函數的極值，以及函數的零點的綜合運用
（1）因為令得.
當時，   
當時，
可知單調增減區間。
（2）設
則
由（1）知：

，即在上遞增
從而得到不等式的證明。
（3）由（1）可得

得到參數a的范圍。
解：（1） 令得.
當時，   
當時，
∴的遞減區間為；遞增區間為.………………….（4分）
（2）設
則
由（1）知：

，即在上遞增

即…………………. ………………….（8分）
（3）由（1）可得

即，或
        …………….（12分）