Question

【題目】設函數，.

（1）若（其中）

（ⅰ）求實數t的取值范圍；

（ⅱ）證明：；

（2）是否存在實數a，使得在區間內恒成立，且關于x的方程在內有唯一解？請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）證明見解析；（2）存在，理由見解析.

【解析】

（1）（ⅰ）求得的導函數，判斷出的單調性，根據函數與在的圖象有兩個不同的交點可得的范圍；

（ⅱ）將證明成立，轉化為證：，結合在上的單調性，轉化為證，結合換元法以及導數的工具作用證得上述不等式成立，由此證得成立.

（2）構造函數，首先判斷出，利用求得的可能取值為.利用導數證明當時，在區間內恒成立，且關于x的方程在內有唯一解.

（1）（ⅰ）解：

在遞增，遞減，且

又當時，；當時，

（ⅱ）由（ⅰ）知：，

要證：成立，只需證：

在遞增，故只需證：

即證：

令，只需證：，即證：

令，，.證畢

（2）令

，且需在區間內恒成立

，可得

事實上，當時，，下證：

法一：，

令，則在單調遞減，

由于，，

存在使在單調遞增，單調遞減，且.

，

在遞減，遞增，，

在區間內恒成立，

當時，在區間內恒成立，且在內有唯一解，證畢.

法二：

令，則，所以在遞減，遞增

，即，

在遞減，遞增，

在區間內恒成立

當時，在區間內恒成立，且在內有唯一解，證畢.