Question

函數f(x)對一切實數x,y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立，且f(1)=0.

（1）求f(0);

(2)求f(x);

(3)不等式f(x)＞ax-5當0＜x＜2時恒成立，求a的取值范圍.

Answer 1

（1）-2(2) f(x)=x²+x-2(3) a＜1+2

解析:

（1）令x=1,y=0,

得f(1+0)-f(0)=(1+2×0+1)·1=2,

∴f(0)=f(1)-2=-2.

(2)令y=0,f(x+0)-f(0)=(x+2×0+1)·x=x²+x,

∴f(x)=x²+x-2.

(3)f(x)＞ax-5化為x²+x-2＞ax-5,

ax＜x²+x+3,∵x∈(0,2),

∴a＜=1+x+.

當x∈(0,2)時，1+x+≥1+2,當且僅當x=,即x=時取等號，由∈(0,2)，得=1+2.

∴a＜1+2.