Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，若存在常數(shù)M＞0使|f（x）|≤M|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，則稱函數(shù)f（x）為F函數(shù)．現(xiàn)給出下列函數(shù)①f（x）=x²，②f（x）=

x2

x2-x+1

③f（x）=x（1-2^x），④f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，且對(duì)一切x₁x₂均有|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|．其中是F函數(shù)的序號(hào)為（　　）

A．①②③

B．②④

C．②③

D．③④

Answer 1

分析：本題考查閱讀題意的能力，根據(jù)F函數(shù)的定義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判定．比較各個(gè)選項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)只有選項(xiàng)（2）（4），根據(jù)單調(diào)性可求出存在正常數(shù)M滿足條件，而對(duì)于其它選項(xiàng)，不等式變形之后，發(fā)現(xiàn)都不存在正常數(shù)M使之滿足條件，由此即可得到正確答案．

解答：解：f（x）=x²，|f（x）|=|x²|≤M|x|，即|x|≤M，不存在這樣的M對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，故①不是F函數(shù)；
當(dāng)x=0時(shí)，M可取任意正數(shù)；當(dāng)x≠0時(shí)，只須M≥|

x

x2-x+1

|的最大值，即M≥|

1

x+ 1 x -1

|的最大值，∴M≥1，
因此，當(dāng)M≥1時(shí)，②是F函數(shù)；
當(dāng)x=0時(shí)，M可取任意正數(shù)；當(dāng)x≠0時(shí)，只須M≥|1-2^x|的最大值，∵右邊不存在最大值，故③不是F函數(shù)；
對(duì)于④，f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，故|f（x）|是偶函數(shù)，因而由|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|得到，|f（x）|≤2|x|成立，存在M≥2＞0，使|f（x）|≤M|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，符合題意．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了函數(shù)的最值及其性質(zhì)，對(duì)選支逐個(gè)加以分析變形，利用函數(shù)、不等式的進(jìn)行檢驗(yàn)，方可得出正確結(jié)論．深刻理解題中F函數(shù)的定義，用不等式的性質(zhì)加以處理，找出不等式恒成立的條件再進(jìn)行判斷，是解決本題的關(guān)鍵所在．