Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C： =1（a＞b＞0）的離心率為 ，橢圓C截直線y=1所得線段的長度為2 ．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）動直線l：y=kx+m（m≠0）交橢圓C于A，B兩點，交y軸于點M．點N是M關于O的對稱點，⊙N的半徑為|NO|．設D為AB的中點，DE，DF與⊙N分別相切于點E，F，求∠EDF的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵橢圓C的離心率為 ，
∴ = ，a2=2b2 ，
∵橢圓C截直線y=1所得線段的長度為2 ，
∴橢圓C過點（ ，1），
∴ + =1，
∴b2=2，a2=4，
∴橢圓C的方程為 + =1．
（Ⅱ）設A，B的橫坐標為x1 ， x2 ，
則A（x1 ， kx1+m），B（x2 ， kx2+m），D（ ， +m），
聯立 可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0，
∴x1+x2=﹣ ，
∴D（﹣ ， ），
∵M（0，m），則N（0，﹣m），
∴⊙N的半徑為|m|，
|DN|= = ，
設∠EDF=α，
∴sin = = = = ，
令y= ，則y′= ，
當k=0時，sin 取得最小值，最小值為 ．
∴∠EDF的最小值是60°．
【解析】（Ⅰ）首先根據題中信息可得橢圓C過點（ ，1），然后結合離心率可得橢圓方程；（Ⅱ）可將題目所求角度的最小值轉化為求角度正弦的最小值，結合題目信息可求得D、N坐標及⊙N半徑，進而將DN長度表示出來，可求∠EDF最小值．
【考點精析】利用函數的最大(小)值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．