Question

【題目】如圖1，四邊形ABCD為等腰梯形，AB＝4，AD＝DC＝CB＝2，△ADC沿AC折起，使得平面ADC⊥平面ABC，E為AB的中點，連接DE，DB（如圖2）.

（1）求證：BC⊥AD

（2）求直線DE與平面BCD所成的角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）證明AC⊥BC，結(jié)合平面ADC⊥平面ABC，推導(dǎo)出BC⊥平面ADC，然后證明BC⊥AD；

（2）取AC中點F，連結(jié)DF，EF，得到FA，FE，FD兩兩垂直，以FA，FE，FD所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出它們的法向量，設(shè)直線DE與平面BCD所成角為θ，利用向量求線面角即可.

（1）在圖1中，作CH⊥AB于H，

則BH，AH，

∵BC＝2，

∴CH，CA，所以，

∴AC⊥BC，

∵平面ADC⊥平面ABC，且平面ADC∩平面ABC＝AC，

∴BC⊥平面ADC，

又AD平面ADC，

∴BC⊥AD.

（2）取AC中點F，連結(jié)DF，FE，

由題意知FA，FE，FD兩兩垂直，

以FA，FE，FD所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

E（0，，0），D（0，0，），C（，0，0），

（0，），（0，﹣2，0），（，0，），

設(shè)（x，y，z）是平面BCD的法向量，

則，取x＝1，（1，0，），

設(shè)直線DE與平面BCD所成的角為θ，

則sinθ＝，

∴直線DE與平面BCD所成角的正弦值為.