Question

已知函數f （x）=2sinωx•cos（ωx+

π

6

）+

1

2

（ω＞0）的最小正周期為4π．
（1）求正實數ω的值；
（2）在銳角△ABC中，內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足sin²2B+sin2BsinB+cos2B=1，求f （B）的值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數的兩角和展開，二倍角公式化簡，求出函數為一個角的一個三角函數的表達式，利用周期公式求正實數ω的值；
（2）化簡sin²2B+sin2BsinB+cos2B=1，利用三角形是銳角三角形，求出B的值，然后求f （B）的值．

解答：解：（1）∵f（x）=2sinωx（cosωx•cos

π

6

-sinωx•sin

π

6

）+

1

2

=

3

sinωxcosωx-sin²ωx+

1

2

=

3

2

sin2ωx-

1

2

（1-cos2ωx）+

1

2

=sin（2ωx+

π

6

）．
又f（x）的最小正周期T=

2π

2ω

=4π，則ω=

1

4

．
（2）由sin²2B+sin2BsinB+cos2B=1得到sin²2B+sin2BsinB-2sin²B=0
所以（sin2B+2sinB）（sin2B-sinB）=0
∴sin2B+2sinB=0或sin2B-sinB=0
∵△ABC為銳角三角形
∴cosB=

1

2

，∴B=

π

3

由（1）f（x）=sin（

x

2

+

π

6

），從而f（B）=sin（

π

3

×

1

2

+

π

6

）=sin

π

3

=

3

2

．

點評：本題是基礎題，考查三角函數的化簡求值，函數的周期，注意三角形條件的應用，考查計算能力．