Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左右焦點分別為F₁，F₂，過F₁的直線分別交雙曲線的兩條漸近線于點P，Q．若點P是線段F₁Q的中點，且QF₁⊥QF₂，則此雙曲線的離心率等于（　　）

• A．

  6

• B．

  5

• C．2
• D．

  3

Answer 1

分析：雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左右焦點分別為F₁（-c，0），F₂（c，0），兩條漸近線方程為y=-

b

a

x，y=

b

a

x，由過F₁的直線分別交雙曲線的兩條漸近線于點P，Q．點P是線段F₁Q的中點，且QF₁⊥QF₂，知PF₁⊥OP，所以過F₁的直線PQ的方程為：y=

a

b

(x+c)，解方程組

y=- b a x y= a b (x+c)

，得P（-

a2

c

，

ab

c

），所以|PF₁|=|PQ|=b，|PO|=a，|OF₁|=|OF₂|=|OQ|=c，|QF₂|=2a，再由余弦定理，能求出此雙曲線的離心率．

解答：解：∵雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左右焦點分別為F₁，F₂，
∴F₁（-c，0），F₂（c，0），雙曲線的兩條漸近線方程為y=-

b

a

x，y=

b

a

x，
∵過F₁的直線分別交雙曲線的兩條漸近線于點P，Q．點P是線段F₁Q的中點，且QF₁⊥QF₂，
∴PF₁⊥OP，
∴過F₁的直線PQ的斜率kPQ=

a

b

，
∴過F₁的直線PQ的方程為：y=

a

b

(x+c)，
解方程組

y=- b a x y= a b (x+c)

，得P（-

a2

c

，

ab

c

），
∴|PF₁|=|PQ|=b，|PO|=a，|OF₁|=|OF₂|=|OQ|=c，|QF₂|=2a，
∵tan∠QOF₂=

b

a

，∴cos∠QOF₂=

a

c

，
由余弦定理，得cos∠QOF₂=

c2+c2-4a2

2c2

=1-

2a2

c2

=

a

c

，
∴1-

2

e2

=

1

e

，即e²-e-2=0，
解得e=2，或e=-1（舍）
故選C．

點評：本題考查雙曲線的性質和雙曲線與直線的位置關系的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意余弦定理的合理運用．