Question

已知函數，則方程（）的根的個數不可能為（ ） 
6      5      4      3

Answer 1

A

試題分析：先畫出函數f（t）的圖象，得出f（t）=a的實數根的情況；再利用換元法，令t=2x²+x，進一步考查f（2x²+x）=a根的情況即可解：（1）畫出f（x）圖象，

當x＞0時，f（x）=x+ ≥2，當x≤0時，f（x）=x³+3≤3．于是可得：①當2＜a＜3時，f（x）=a有3個根，一負二正；②當a=3時，f（x）=a有3個根，一零二正；③當3＜a時，f（x）=a有2個正根；④當a=2時，f（x）=a有一正一負根；⑤當a＜2時，f（x）=a只有一負根．（2）令t=2x²+x=2(x+ )²-
，則t≥-，①當2＜a＜3時，f（t）=a有3個t使之成立，一負二正，兩個正t分別對應2個x，當t＜-時，沒有x與之對應，當t=-時，有1個x與之對應，當t＞-時，有2個x與之對應，∴根的個數分別為4、5、6個；②當3＜a時，f（t）=a有2個正根，兩個正t分別對應2個x，此時根的個數為4個．③由題目不必考慮a≤2的情形．所以根的個數只可能為4、5、6個．即方程f（2x²+x）=a的根的個數只可能為4、5、6個，不可能為3個．故選A．
點評：正確得出函數的單調性并畫出函數圖象、利用換元法及分類討論的方法是解題的關鍵．